Εναρξη διδασκαλιας: Τεταρτη 8 Φεβρουαριου 2023, στις 3μμ.

Προγραμμα διδασκαλιας: Τεταρτη 15:00-17:00 και Πεμπτη 15:00-17:00 στην Αιθουσα Γ31.

Η-ταξη:eclass.uoa.gr/courses/MATH175/

Περιγραφη

Το γενικο αντικειμενο του μαθηματος ειναι η λεγομενη "Μη-μεταθετικη (η Κβαντισμενη) Συναρτησιακη Αναλυση". Η ονομασια αυτη προερχεται απο το γεγονος οτι η Κλασικη Συναρτησιακη Αναλυση ασχολειται με χωρους Banach, που ειναι χωροι συναρτησεων, ενω η Κβαντισμενη Συναρτησιακη Αναλυση ασχολειται με πινακες η με τελεστες, που δεν μετατιθενται μεταξυ τους, οπως οι συναρτησεις.

Μετα απο μια επισκοπηση των χωρων Hilbert και των τελεστων τους, θα ακολουθησει μια εισαγωγικη προσεγγιση σε μερικα απο τα επομενα θεματα (ξεκινωντας απο χωρους πεπερασμενης διαστασης):

* Χωροι Τελεστων (Operator Spaces) και Συστηματα Τελεστων (Operator Systems)

* C*-αλγεβρες και αλγεβρες von Neumann.

* Καταστασεις και αναπαραστασεις C* αλγεβρων.

* Πληρως θετικες απεικονισεις σε συστηματα τελεστων και κβαντικα καναλια.

* Θεωρηματα επεκτασης και διαστολης (dilation) και εφαρμογες στα συνθετα κβαντικα συστηματα.

Ενας Χωρος Τελεστων Ε (Quantized or non-commutative Banach space) ειναι ενας (συνηθως κλειστος) υποχωρος του χωρου B(H) των τελεστων σε καποιον χωρο Hilbert (ενδεχομενως πεπερασμενης διαστασης). Ετσι κληρονομει τη νορμα απ τον B(H). Επισης ομως, για καθε φυσικο αριθμο n, ο χωρος πινακων M_n(E) ειναι υποχωρος του Μ_n(B(H))= B(H^n), αρα ειναι χωρος τελεστων. Οι καταλληλοι μορφισμοι φ:Ε-->F μεταξυ χωρων τελεστων ειναι οι λεγομενες "πληρως φραγμενες (γραμμικες) απεικονισεις" που ειναι οχι μονον φραγμενες, αλλα επαγουν απεικονισεις φ_n:M_n(Ε)-->M_n(F) που εχουν ομοιομορφα (ως προς n) φραγμενες νορμες. Ο δυικος ενος χωρου τελεστων αναπαρισταται και αυτος ως χωρος τελεστων.

Ενα Συστημα Τελεστων Ε ειναι ενας υποχωρος του B(H) που περιεχει τον ταυτοτικο τελεστη και τον συζυγη καθε στοιχειου του. Ετσι, παραγεται γραμμικα απο τον πραγματικο χωρο των αυτοσυζυγων του στοιχειων, ο οποιος εφοδιαζεται με τον θετικο κωνο Ε^+ των θετικων (θετικα ημιορισμενων) στοιχειων. Το ιδιο ομως συμβαινει και στον M_n(E) για καθε n. Στα συστηματα τελεστων ειναι λοιπον κρισιμη η εννοια της θετικοτητας. Οι καταλληλοι μορφισμοι φ:Ε-->F μεταξυ συστηματων τελεστων ειναι οι λεγομενες "πληρως θετικες (γραμμικες) απεικονισεις". Ειναι οι απεικονισεις που επαγουν απεικονισεις φ_n:M_n(Ε)-->M_n(F) (για καθε n) οι οποιες στελνουν θετικα στοιχεια του M_n(Ε) σε θετικα στοιχεια του M_n(F).

Μια C*-αλγεβρα Α ειναι ενας κλειστος υποχωρος καποιου B(H), που περιεχει τον συζυγη καθε στοιχειου της, αλλα περιεχει και το γινομενο καθε ζευγους στοιχειων της. Αν ειναι επιπλεον κλειστη και στην τοπολογια της συγκλισης στα σημεια του Η, λεγεται αλγεβρα von Neumann. Οι αλγεβρες αυτες δημιουργηθηκαν αρχικα για τις αναγκες της Κβαντικης Μηχανικης αλλα και της θεωριας αναπαραστασεων (τοπικα συμπαγων) ομαδων.

Απο τις ωραιοτερες μαθηματικες κατακτησεις του 20ου αιωνα ηταν και η θεωρια Gelfand, που πετυχε τον χαρακτηρισμο των C* αλγεβρων μεσω ενος απλου συστηματος αξιωματων. Επισης, οι μεταθετικες C* αλγεβρες με μοναδα αποδειχθηκε οτι ειναι παντοτε της μορφης C(K), οπου Κ ο συμπαγης χωρος των καθαρων καταστασεων (pure states) η αλλιως χαρακτηρων. Για το λογο αυτο η θεωρια των C* αλγεβρων αναφερεται συχνα ως "μη μεταθετικη τοπολογια".

Κλειδι για τον αξιωματικο χαρακτηρισμο των C* αλγεβρων ειναι η λεγομενη "κατασκευη GNS" για μια C*-αλγεβρα Α. Η κατασκευη GNS αντιστοιχιζει σε καθε "κατασταση" (=θετικη γραμμικη απεικονιση ω:Α--> C νορμας 1) μια "αναπαρασταση" της αλγεβρας Α σε καποιον χωρο Hilbert. Σημαντικη γενικευση της κατασκευης αυτης ειναι το Θεωρημα διαστολης του Stinespring. Το Θεωρημα Stinespring, για μια C*-αλγεβρα Α και μια πληρως θετικη απεικονιση Φ:Α--> Β(Η) εξασφαλιζει την υπαρξη "διαστολης" της Φ σε μια "αναπαρασταση" της Α που δρα σε καποιον "μεγαλυτερο" χωρο Η'.

Τα προαπαιτουμενα για την παρακολουθηση του μαθηματος ειναι περιορισμενα: Γραμμικη αλγεβρα, Πραγματικη Αναλυση και γνωσεις προπτυχιακης Συναρτησιακης Αναλυσης και Θεωριας Μετρου ειναι αρκετες. Ειδικοτερα, δεν προϋποτιθεται γνωση Θεωριας Τελεστων, ουτε, βεβαιως, Κβαντομηχανικης.

Ειμαι στη διαθεση των φοιτητων/φοιτητριων για η-διευκρινισεις.

Ο διδάσκων

Α. Κατάβολος

akatavol@math.uoa.gr