Θέμα: Η τοπολογία πολλαπλοτήτων Riemann με θετική βαθμωτή (scalar) καμπυλότητα

Διοργανωτές: Παναγιώτης Γιαννιώτης – Παναγιώτης Χρήστου

Πρώτη συνάντηση: Παρασκευή 4/10 3-5μμ, Αίθουσα Α11

Περίληψη:

Το πιο βασικό αντικείμενο σε μια πολλαπλότητα Riemann είναι ο τανυστής καμπυλότητας. Αν και περιέχει πολλή πληροφορία για την πολλαπλότητα -ή μάλλον λόγω αυτού- είναι δύσκολο να βρούμε κατάλληλες συνθήκες που θα πρέπει να επιβάλλουμε στον τανυστή αυτό, ώστε οι πολλαπλότητες που τις ικανοποιούν να είναι ταυτόχρονα ενδιαφέρουσες αλλά και αρκετά απλές ώστε να τις περιγράψουμε. Για το λόγο αυτό ορίζουμε από τον τανυστή αυτό άλλα, πιο εύχρηστα, μεγέθη, όπως τη βαθμωτή (scalar) καμπυλότητα, η οποία είναι απλά μια συνάρτηση στην πολλαπλότητα. Σκοπός αυτού του σεμιναρίου θα είναι να προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τι τοπολογικούς περιορισμούς επιβάλλει σε μια πολλαπλότητα η ύπαρξη μετρικής με θετική βαθμωτή καμπυλότητα.  Το πρόβλημα δεν είναι τόσο απλό, καθώς πχ για κάθε συμπαγή πολλαπλότητα Riemann το καρτεσιανό της γινόμενο με μια αρκετά μικρή (άρα με μεγάλη καμπυλότητα) σφαίρα διάστασης 2 είναι πολλαπλότητα με θετική βαθμωτή καμπυλότητα. Για να προσπαθήσουμε να το προσεγγίσουμε θα χρειαστεί να ορίσουμε και να μελετήσουμε πιο εκλεπτυσμένες τοπολογικές έννοιες-ιδιότητες.

Ένας δρόμος έρευνας στο πρόβλημα της θετικής βαθμωτής καμπυλότητας είναι να περιοριστεί κανείς σε πολλαπλότητες που δέχονται δομή spin. Η κατεύθυνση αυτή αναπτύχθηκε κυρίως από τους Gromov και Lawson, στη δουλειά των οποίων θα επικεντρωθούμε στο σεμινάριο αυτό.

Αφού κάνουμε μια γρήγορη επανάληψη στις έννοιες από Γεωμετρία Riemann και Διαφορική Τοπολογία που χρειαζόμαστε, θα ξεκινήσουμε με μια αναλυτική εισαγωγή στις άλγεβρες Clifford, την ομάδα spin, τις δομές spin και τους τελεστές Dirac (καθώς και τη μεταξύ τους σχέση). Το κομμάτι αυτό έχει αυτόνομο ενδιαφέρον και για κάποιον που δεν ενδιαφέρεται για το πρόβλημα της θετικής βαθμωτής καμπυλότητας.

Αφού ολοκληρώσουμε την εισαγωγή στη γεωμετρία spin, θα μιλήσουμε σύντομα για χαρακτηριστικές κλάσεις με χρήση των οποίων θα ορίσουμε μια σημαντική αναλλοίωτη, το Â-genus. Μετά από σύντομη περιγραφή του θεωρήματος Atiyah-Singer, θα δούμε πως για spin πολλαπλότητες  το Â-genus αποτελεί εμπόδιο στην ύπαρξη θετικής βαθμωτής καμπυλότητας.
Θα συνεχίσουμε με κατασκευές πολλαπλοτήτων με μετρικές θετικής βαθμωτής καμπυλότητας, καθώς και με το κύριο μέρος της δουλειάς των Gromov-Lawson.

Αν ο χρόνος και η διάθεση των συμμετεχόντων το επιτρέψουν θα μιλήσουμε και για άλλες κατευθύνσεις, όπως τη δουλειά των Schoen και Yau.

Προαπαιτούμενα για την παρακολούθηση του σεμιναρίου είναι βασική γνώση Γεωμετρίας Riemann (στο επίπεδο του μεταπτυχιακού μαθήματος του τμήματος μας) και κυρίως μαθηματική ωριμότητα.

Λέξεις κλειδιά: positive scalar curvature, Gromov-Lawson conjecture, spin structures, Â-genus, harmonic spinor, Clifford algebras, surgery, spin cobordism group

Ενδεικτική Βιβλιογραφία

Spin Geometry, Lawson, Michelsohn
N. Hitchin, Harmonic Spinors, Adv. In Math. 14, 1-55 (1974)
M. Gromov, H. Lawson, Spin and scalar curvature in the presence of a fundamental group I, Annals of Math. 111, 209-230 (1980)
M. Gromov, H. Lawson, The classification of simply connected manifolds of positive scalar curvature, Annals of Math. 111, 423-434 (1980)
M. Gromov, Sign and Geometric meaning of curvature
M. Gromov, Four lectures on positive scalar curvature, https://arxiv.org/abs/1908.10612