Το Δήλιο πρόβλημα

Αρχικά, ο όρος “Δήλιο πρόβλημα” ίσως φανεί εντελώς άγνωστος στον αναγνώστη, αλλά είναι ταυτόσημος με το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, που από την αρχαιότητα μέχρι και τον 19o αιώνα απασχόλησε άπαντες τους μαθηματικούς και όχι μόνο. ΄Έγινε αντικείμενο ιδιαίτερης μελέτης και τελικά χαρακτηρίστηκε ως άλυτο, αφού η λύση του με την χρήση αποκλειστικά του κανόνα και του διαβήτη είναι αδύνατη.

Ο όρος “Δήλιο πρόβλημα” οφείλεται στο χρησμό, που δόθηκε στους Δηλίους κατά τη διάρκεια λοιμού, περίπου το 430 π.Χ., ο οποίος συμβούλευε να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιου μεγέθους από τον ήδη υπάρχοντα. Οι Δήλιοι αναγκάστηκαν να συμβουλευτούν ακόμα και τον Πλάτωνα για να δώσουν λύση στο πρόβλημα. Ιδιαίτερη αναφορά είχε κάνει και ο Ερατοσθένης σε γράμμα, που έστειλε στο Βασιλικό προστάτη, Πτολεμαίο ΙΙΙ, στο οποίο περιέγραφε το μεσολάβο, ένα ειδικό όργανο που κατασκεύασε για την επίλυση του προβλήματος.

Το σημαντικότερο, όμως, βήμα είχε κάνει ο Ιπποκράτης ο Χίος, ο οποίος απέδειξε το 460 π.Χ. ότι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση δύο μέσων αναλόγων μεταξύ ενός τμήματος και του διπλάσιού του, δηλαδή αναζητούνται x,y τέτοια ώστε, όπου το δοθέν ευθύγραμμο τμήμα. Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι , δηλαδή ο είναι το μήκος της πλευράς ενός κύβου διπλάσιου όγκου από δοθέντα πλευράς.

Με το πρόβλημα ασχολήθηκαν, επίσης, ο Αρχύτας, ο Εύδοξος, ο Μέναιχμος, ο Νικομήδης, ο Απολλώνιος, ο Διοκλής, ο ΄Ηρωνας, ο Πάππος, ο Descartes και ο Longchamps, οι λύσεις όμως που πρότειναν οδηγούσαν σε καμπύλες και επιφάνειες βαθμού μεγαλυτέρου του δύο.

Τελειώνοντας, ας δούμε, που οφείλεται το αδύνατο της επίλυσης του διπλασιασμού του κύβου με τον κανόνα και το διαβήτη. Το ζητούμενο είναι η εύρεση της πλευράς , με μόνα εργαλεία τον κανόνα και το διαβήτη, ενός κύβου, που ικανοποιεί την εξίσωση . Αν δεχθούμε ότι το είναι κατασκευάσιμο, τότε αυτό ανήκει σε ένα σώμα με στοιχεία της μορφής με (Τα σώματα προκύπτουν με κατάλληλες προεκτάσεις μέσω συνεχών εξαγωγών κυβικών ριζών του σώματος , που ταυτίζεται στην προκειμένη περίπτωση με το σύνολο των ρητών αριθμών). Αποδεικνύεται, ότι αν είναι λύση της εξίσωσης τότε και η είναι λύση της, γεγονός που οδηγεί σε άτοπο, αφού, τότε η εξίσωση θα έχει δύο πραγματικές ρίζες, ενώ το είναι η μόνη πραγματική και οι υπόλοιπες φανταστικές (Σημειώνουμε ότι η εξίσωση προκύπτει από διπλασιασμό κύβου με μοναδιαία πλευρά).

Η παραπάνω απόδειξη έδωσε τέλος στις προσπάθειες για την επίλυση του προβλήματος και κατέταξε το Δήλιο πρόβλημα μαζί με αυτά της τριχοτόμησης τυχαίας γωνίας, της κατασκευής κανονικών πολυγώνων πλευρών με πρώτο και τον τετραγωνισμό του κύκλου στα λεγόμενα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα.

 

Σχετική βιβλιογραφία:

  1.  
  2. Τα περίφημα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας Μ.Α. Μπρίκας, Αθήνα 1970
  3.  
  4. The ancient tradition of geometric problems Wilbur Richard Kuorr

 

Ευστράτιος Αλεξανδρίδης